Este texto está dirigido a alumnos del Grado de Matemáticas, pudiendo ser útil también como libro de consulta a los profesionales cuyo trabajo está relacionado con las Ecuaciones en Derivadas Parciales, tanto en su tarea docente como investigadora. El objeto de la obra es presentar una introducción a la teoría moderna de las ecuaciones en Derivadas Parciales, abordando los problemas clásicos mediante las nuevas técnicas del Análisis Matemático. Para ello se ha presentado un capítulo dedicado al estudio de la Teoría de Distribuciones. La utilización de esta herramienta matemática ha permitido un tratamiento cómodo y unificado de cuestiones como las soluciones fundamentales de los operadores lineales y la caracterización de los operadores hipoelípticos. Tras unos capítulos dedicados a los operadores clásicos de Laplace, del calor y de ondas, se realiza la clasificación de los operadores en derivadas parciales. Tres capítulos están dedicados al problema de Cauchy para ecuaciones de primer orden, segundo orden y los problemas de evolución en un semiespacio. Los métodos variacionales para problemas de valor frontera (estacionarios y de evolución, incluyendo la teoría espectral) constituyen la última parte del libro. SUMARIO I INTRODUCCION Y PRELIMINARES 1 1 Generalidades y Ejemplos 5 1.1 Introducción 5 1.2 Ejemplos Clásicos de EDP Lineales de Orden Dos . 6 1.2.1 La Ecuación de Laplace 7 1.2.2 La Ecuación del Calor 7 1.2.3 La Ecuación de Ondas 8 1.3 El Concepto de Solución de una EDP 9 2 Introducción a la Teoría de Distribuciones 11 2.1 Distribuciones 11 2.2 Distribuciones de Soporte Compacto 17 2.3 Convoluciones 21 2.3.1 Convolución de Funciones 21 2.3.2 Convolución de Distribuciones 29 2.4 La Transformada de Fourier 34 2.4.1 Transformada de Fourier de Funciones 34 2.4.2 Transformada de Fourier de Distribuciones 38 I Problemas de la Primera Parte 42 11 SOLUCIONES FUNDAMENTALES. CLASIFICACION DE LAS EDP 51 3 EDP con Coeficientes Constantes 55 3.1 Introducción 55 3.2 Soluciones Fundamentales 56 3.3 Hipoelipticidad 61 4 El Operador de Laplace 63 4.1 Introducción . 63 4.2 La Solución Fundamental 63 4.3 Funciones Armónicas . 68 5 El Operador del Calor 77 5.1 Introducción 77 5.2 La Solución Fundamental 77 5.3 Principio del Máximo 82 6 El Operador de Ondas 85 6.1 Introducción 85 6.2 Caso de una variable espacial 86 6.3 Caso de dos variables espaciales 88 6.4 Caso de tres variables espaciales 90 7 Clasificación y Reducción a la Forma Canónica de las EDP 95 7.l Introducción 95 7.2 EDP con Coeficientes Constantes 95 7.3 EDP con Coeficientes Variables 100 7.3.1 Caso Hiperbólico 102 7.3.2 Caso Parabólico 103 7.3.3 Caso Elíptico 104 II Problemas de la Segunda Parte 106 111 EL PROBLEMA DE CAUCHY 119 8 El Problema de Cauchy: Ecuaciones de Primer Orden 123 8.1 Ecuaciones Lineales 123 8.2 Ecuaciones Cuasilineales 126 8.3 Ecuación Gener al de Primer Orden 129 9 El Problema de Cauchy: Ecuaciones de Segundo Orden 137 9.1 Introducción 137 9.2 Teoremas de Cau chy- Kowalevski y de Holgrem 143 9.3 Operadores Hipoelíptico-Analíticos 151 10 El Problema de Valor Inicial 155 10.l Introducción 155 10.2 El PVI para la Ecuación del Calor 156 10.3 El PVI para la Ecuación de Ondas 165 10.3.1 Un Resultado sobre Convolución de Distribuciones 165 10.3.2 Solución del PVI . 172 111 Problemas de la Tercera Parte 182 IV PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA 195 11 Espacios de Sobolev 201 11.1 Definición y Primeras Propiedades 201 11.2 Aproximación por Funciones Diferenciables 206 11.3 Teorema de Trazas 208 11.4 Teorema de Rellich 211 11.5 Normas Equivalentes 215 12 Problemas de Valor Frontera 219 12.1 Introducción 219 12.2 El Problema de Dirichlet . 221 12.3 El Problema de Neumann 227 12.3.1 El Espacio V(O) 228 12.3.2 Vuelta al P roblema de Neumann 232 12.4 Condiciones Frontera de Tipo Mixto . 237 12.5 Problemas de Valor Frontera en Dominios Sencillos 239 12.5.1 El Problema de Dirichlet en una Bola 240 12.5.2 El Método de Separación de Variables 247 13 Teoría Espectral 259 13.1 Introducción 259 13.2 Espectro de un Operador Autoadjunto y Compacto . 261 13.3 La Alternativa de Fredholm 266 14 Problemas Mixtos: El Caso Parabólico 273 14.1 Introducción . 273 14.2 Problemas Parabólicos Abstractos 274 14.3 Condición Front era Dirichlet 283 14.4 Condición Frontera Neumann 285 14.5 Ejemplos 293 15 Problemas Mixtos: El Caso Hiperbólico 297 15.1 Introducción . 297 15.2 Problemas Hip erbólicos Abstractos 298 15.3 Condición Frontera Dirichlet 306 15.4 Condición Front era Neumann 308 15.5 Ejemplos 310 IV Problemas de la Cuarta Parte 315 Apéndice A. Variedades Lipschitzianas y Fórmula de Green 325 Apéndice B. La Regla de la Cadena. 329 Bibliografía Índice Terminológico Índice de Espacios Funcionales
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