Nuestro trabajo se enmarca en el ambiente de la Integración Finitamente Aditiva, esto es, integración sin condiciones de continuidad monótona sobre la integral elemental. En concreto, realizamos contribuciones en tres direcciones:
Tras un primer capítulo con los preliminares necesarios para poder seguir la lectura de la memoria, en primer lugar estudiamos bajo qué condiciones la integración abstracta de Riemann admite una representación integral mediante conjuntos espectrales (Cápitulo 2). En concreto, probamos que, en este ambiente funcional, sigue verificándose que toda función abstracta Riemann integrable es casimedible y que las condiciones de continuidad débil son suficientes para conseguir generalizar la fórmula dada por Topsoe para calcular la integral de una funcion a través de las medidas de sus conjuntos espectrales.
Después, examinamos la relación de la continuidad absoluta para funcionales, en el contexto de la integración propia y abstracta de Riemann, con su propiedad homónima para medidas finitamente aditivas, dando resultados en ambos sentidos: para integrales que proceden de medidas y para medidas inducidas por integrales (Cápitulo 3). Además, elaboramos unas novedosas técnicas de densidad secuencial que nos permiten obtener un teorema de Radon-Nikodym aproximado en este ambiente funcional (Cápitulo 4).
Por último, desarrollamos una teoría de integración respecto a integrales superiores de modo que nos proporciona un ambiente general desde el que poder tratar la Teoría de la Integración Finitamente Aditiva de un modo global (Cápitulo 5). En concreto, es el nuevo concepto de bideterminación que hemos introducido el que nos ha permitido encontrar un marco conjunto desde el cual estudiar, simultáneamente, ciertos aspectos de varias teorías de integración que hasta ahora se habían tratado por separado, aunque presentaban cierto paralelismo formal.
